By F. J. Flaherty

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Example text

B) Gilt 2n → 0 bzgl. τ ? Gilt n! → 0 bzgl. τ ? (c) Sei m ∈ Z; dann ist die Abbildung fm : (Z, τ ) → (Z, τ ), fm (n) = n + m, ein Hom¨ oomorphismus. (d) (Z, τ ) ist metrisierbar. 20 Die Topologie der punktweisen Konvergenz auf RR ist nicht metrisierbar. ) n=1 Un = {0}. F¨ 50 I. 2(g)). Zeige, dass eine Folge (fn ) genau dann gegen f konvergiert, wenn f¨ ur alle kompakten Teilmengen K ⊂ R sup |fn (t) − f (t)| → 0. t∈K Gilt das auch f¨ ur Netze? 22 Ein topologischer Raum, in dem Grenzwerte konvergenter Netze eindeutig bestimmt sind, ist ein Hausdorffraum.

37 zu zeigen ist. • Ein topologischer Raum T ist genau dann normal, wenn f¨ ur alle F ⊂ G ⊂ T , F abgeschlossen, G offen, eine offene Menge O mit F ⊂ O ⊂ O ⊂ G existiert. Dieses Kriterium wird zuerst mit F = A und G = T \ B angewandt; es existiert also eine offene Menge O1/2 mit A ⊂ O1/2 ⊂ O1/2 ⊂ T \ B. Als n¨achstes wenden wir das Kriterium mit F = A, G = O1/2 bzw. F = O 1/2 , G = T \ B an; das liefert offene Mengen O1/4 bzw. O3/4 mit A ⊂ O1/4 ⊂ O1/4 ⊂ O1/2 , O 1/2 ⊂ O3/4 ⊂ O 3/4 ⊂ T \ B. 11) gilt.

A) R, versehen mit der euklidischen Topologie, erf¨ ullt das 2. Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. d (b) R , versehen mit der euklidischen Topologie, erf¨ ullt das 2. Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. (c) Ein separabler metrischer Raum erf¨ ullt das 2. Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. 12 Ist die Abbildung f : {0, 1}N → [0, 1], (an ) → n an 2−n , ein Hom¨ morphismus, wenn {0, 1}N die Produkttopologie und [0, 1] die euklidische Topologie tr¨ agt? 13 Sei T ein topologischer Raum und A ⊂ T . Dann ist die Indikatorfunktion χA genau dann stetig, wenn A offen und abgeschlossen ist.

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