By Konrad Königsberger

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1st etwa LX eine weitere, so gilt fiir jeden Vektor v mit l l ~ l l= 1 ( L - L X ) ( u= ) lim t u ( L - L')(tu) = 0. lltvll Da die Menge der Einheitsvektoren den IRn aufspannt, folgt L = L*. Die eindeutig bestimmte lineare Abbildung L heist Differential oder auch Linearisiemng der Funktion f im Punkt a und wird mit df ( a ) oder df, bezeichnet. In alteren Buchern wird das Differential auch totales Differential genannt. 1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare Feststellungen 47 Sei e l , . .

Fur jedes x E d setzen wir x0 := 1. 6 Potenzreihen in Banachalgebren Satz 2: Sei d eine Banachalgebra uberlK mit Eins. Ist P ( z ) = CEO akzk eine Potenzreihe mit Koeffizienten an: E lK und Konwergenzradius R, so konwergiert fur jedes Elementx E K$(O) := { x E a' IlxIl < R } die Reihe 1 absolut. Die hierdurch erklarte h n k t i o n P d : K g ( 0 ) + d ist in jeder Kugel K e ( 0 ) mit r < R Lipschitz-stetig: Fur beliebige x , y E K f ( 0 ) gilt Fur jedes x E K g ( 0 ) ist die Funktion t H P d ( t x ) im Interwall (-p; p ) differenzierbar (p := R/ llxll bzw.

In den Fillen A+# 0, 1 In allen Fallen leistet dann v := a g die gewiinschte Approximation. 3 b) Beweis des Lemmas unter der zusatzlichen Voraussetzung, daB 1 f 1 < 1. Wir definieren induktiv eine Folge stetiger Funktionen f k : X + IR mit Wir beginnen mit fo := 0. 3 Stetige Abbildungen 25 Sei nun f k wie gewunscht definiert. Dann gibt es nach der Approximationsaussage a) zu f - f k eine stetige Funktion uk auf X mit + Wir setzen f k + l := f k uk. f k + l ist eine stetige Funktion auf X mit der gewunschten Approximationsgiite.

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