By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par los angeles idea de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec l. a. concept de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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Un intervalle non born´ e est d´efini par une seule in´egalit´e ou par deux in´egalit´es impliquant les symboles +∞ et −∞ : [a, +∞[= {x | x ≥ a} = {x | a ≤ x < +∞}, ] − ∞, b] = {x | x ≤ b}, ]a, +∞[= {x | x > a} ] − ∞, b[= {x | x < b}. (le premier et le troisi`eme intervalles sont ferm´es, les deux autres sont ouverts). Dans la mˆeme veine, on ´ecrit R =] − ∞, +∞[ et, quelquefois, R = [−∞, +∞] (la droite achev´ee). Il est ais´e de voir que le th´eor`eme 10 admet les extensions suivantes : 1a an → a et bn → +∞ impliquent an + bn → +∞ (an → a se lit : an tend vers a) ; 1b an → +∞ et bn → +∞ impliquent an + bn → +∞ ; 2a an → a > 0 et bn → +∞ impliquent an bn → +∞ ; 2b an → a < 0 et bn → +∞ impliquent an bn → −∞ ; 2c an → +∞ et bn → +∞ impliquent an bn → +∞ ; 2d an → −∞ et bn → +∞ impliquent an bn → −∞ ; 3a bn → +∞ implique 1/bn → 0 .

Le second ´enonc´e implique le premier. Soit {xn }n∈N une suite de points de l’intervalle ]a, b[ distincts de x0 telle que lim xn = x0 . n→+∞ Il faut v´erifier qu’alors lim f (xn ) = L. n→+∞ Soit > 0. Par hypoth`ese, il existe δ > 0 tel que x ∈ ]a, b[ et 0 < |x − x0 | < δ entraˆıne |f (x) − L| < . ` ce nombre δ > 0 correspond un indice nδ tel que n > nδ implique A 0 < |xn − x0 | < δ. On aura donc |f (xn ) − L| < d`es que n > nδ ce qui montre que f (xn ) → L. Le premier ´enonc´e implique le second.

13. Etablir une correspondance biunivoque entre les nombres r´eels positifs et les d´eveloppements binaires infinis de la forme N +∞ ak 2k + k=0 k=1 bk 2k o` u ak , bk ∈ {0, 1}. Calculer le d´eveloppement binaire de 22/7. 14. Montrer que k < 2k pour tout k ∈ N. En d´eduire que la s´erie +∞ k=1 k 10k est convergente. Sa somme est-elle rationnelle ou irrationnelle ? 15. Montrer que l’ensemble des nombres alg´ebriques de degr´e deux, c’est`a-dire l’ensemble des nombres qui satisfont une ´equation du type ax2 + bx + c = 0 avec a, b, c ∈ Z, est d´enombrable.

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