By René Bartsch

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Ist n¨amlich A = ∅, so liefern die Axiome III und VIII, daß {∅} eine Menge ist. Falls A = ∅, so ist nach Axiom IV {A, ∅} eine Menge. Nehmen wir f¨ ur A die Klasse, die durch die Aussageform p(x) := (x = A), definiert wird, so finden wir, daß {A, ∅} ∩ A = {A} eine Menge ist. Das Cartesische Produkt A × B zweier Mengen A und B ist eine Menge: F¨ ur jedes a ∈ A definieren wir die Abbildung fa : B → A × B : fa (b) := (a, b) und erhalten mit Axiom VI, daß alle Bilder fa (B) = {a} × B, a ∈ A Mengen sind.

17 Sind α, β Ordinalzahlen und α = β, so gilt α ⊂ β ⇐⇒ α ∈ β . 15(2) stets x ∈ β, insgesamt also α ⊆ β. 16(1) ein Anfangselement a von β \ α existiert. Ist nun x ∈ a, so kann weder x = a noch a ∈ x gelten, somit kann x nicht Element von β \ α sein. Weil x aber jedenfalls Element von β ist, folgt x ∈ α. Das ergibt a ⊆ α. 15(2) gelten w¨ urde). 15(1) folglich x ∈ a. Das liefert nun α ⊆ a, insgesamt also α = a ∈ β. 18 Sind α und β Ordinalzahlen, so gilt α⊆β ∨ β⊆α. Beweis: Offensichtlich ist jedenfalls α ∩ β eine Ordinalzahl.

Wir betrachten nun die Menge S := {(S, s)| S ⊆ X, s : S → S × S bijektiv} aller Paare aus Teilmengen S von X, die zu S × S gleichm¨achtig sind und Bijektionen s von S nach S × S. Da mindestens die abz¨ahlbaren Teilmengen solche Paare liefern, ist S nicht leer. Nun definieren wir eine Halbordnung auf S: (S, s) ≤ (T, t) :⇔ S ⊆ T ∧ t|S = s . Es ist nicht schwer zu erkennen, daß es sich tats¨achlich um eine reflexive Halbordnung auf S handelt. Wir wollen das Zorn’sche Lemma anwenden und m¨ ussen daher kurz u ufen, ob jede ¨ berpr¨ total geordnete Teilmenge von S ein Supremum in S hat.

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