By David Hilbert (auth.)

Aus dem Vorwort von David Hilbert: "Der vorliegende zweite Band enthält die Abhandlungen über Algebra, Invariantentheorie und Geometrie. Herr VAN DER WAERDEN hat ein Nachwort zu den algebraischen und invariantentheoretischen Arbeiten hinzugefügt. Aus meinem Buch über die Grundlagen der Geometrie ist lediglich die notice "Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung" abgedruckt worden. Im übrigen enthält der vorliegende Band anstatt dieses Werkes eine von Dr. ARNOLD ScHMIDT verfaßte Übersicht über meine geometrischen Untersuchungen.

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Um die gefundene Determinante (31) durch übersichtliche invariante Bildungen darzustellPn, setzen wir an T= = wo bedeutet. e n fl nfl + [n0 LI e - ,u n 1 0], + ,u(n, eh, (32) ,u = 5n- 22 enthält nur die Differentialquotienten P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P~, P 6 und ist eine Kovariante vom Grade 5 in den Koeffizienten, vom Gewichte 11 und vom Grade ,u in den Variablen. 'ine Kovariante, nämlich die erste Überschiebung, d. h. die Funktionaldeterminante der beidPn Kovarianten i und i, abo (i, j)l * = a, ao al a2 al 0 a2 ao aa 2a1 3~ 0 ~ 2a2 3a3 a5 4a3 XI'+·· • * 4a4 0 ~ 2a3 3a4 4a5 Vgl.

1'> zugeordnet. Während also in den ersten drei Hauptfällen jedem der v + 1 untereinander verschiedenen Wurzelwerte). , deren jeder zur Konstruktion zweier zugeordneter Formen g;0 und g;1 Anlaß gibt. <,u> g;~«) ist dann die Gleichberechtigung der fraglichen Formen mit irgend zwei linearen Kombinationen ihrer selbst direkt erkennbar. •+1>(x) g;<">(x<1l)}2.

1 . (,u).. d~~I> ... , k~ ai-•+1, k~ ai-•+1, k~ ai-.. +2• ... ' k~-1 CXi-1' l k•-1 a•' + 1 . . a,- 1<1' A , 1(1') ' II (18) k~a;-(-l)"A-<1•>, ki:ai+l• x~. -(r)xlx~- 1 , ... , k:_lai+•-l• k;aa+•• ••• ,(-1)"- 1 (r)xi- 1 x2,(-1)"xi, (-1)"yi: 0 §2 Die Bestimmung des Systems der irrationalen Kovarianten 49 qJ. Aus der Proportion (17) finden wir für die Unbekannte u den Wert Null, dessen Einsetzung das Gleichungssystem {15) in das ursprüngliche System {14) überführt. "''), d. : (19) worin für rp<1•> genauer rp<1'>(x) geschrieben ist, und tp<1•>(y) eine noch unbestimmte Funktion von y1 , y2 und den Koeffizienten der Grundform I bedeutet.

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