By Roshdi Rashed

The mathematical works of Ab? K?mil (floruit circa 880) have been produced generations after the works of Al-Khwarizm?, the founding father of algebra. They unfolded fields of analysis that proved fertile up until eventually the 17th century, and have been quickly to turn into either a reference and a version. Their impression used to be decisive at the improvement of algebra in Arabic at the very least in Latin and Hebrew. there'll be present in the current booklet the 1st conscientiously severe variation of Ab? K?mil s works, in addition to the 1st ever translation right into a glossy language. textual content and translation are preceded via an exhaustive observation, immediately mathematical and historical."

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Example text

X Si V est le « quotient du plus petit par le plus grand », on a v < m. - 48 - On considère l’équation tn \2 10-JC) 10-jc 1 0 -JC \uv = 1 /■ f \2 X \u-v^=2 = 3. I0~x Abu Kàmil ramène ce problème au précédent en observant que, si cette équation est vérifiée, alors : En multipliant la seconde équation par v^, on a = v"^+2v^. Comparons cette valeur de à celle issue de la première équation, on a ; 1= 10-^ +' X 10 ~ x X =3+2 10-x X X 10 - X = 5, + 2v^ = —1 + V2 donc V= 10-A: X rr ------- + -------- = V5.

Finalement y(V4Ô-V3Ô) = y -1 0 . On met chaque membre au carré. On obtient l’équation quadratique y^+(3 + V6)y = V 2 ^ 100 + y'(V48ÔÔ - 69) = 20};. y =- - 2 Or donc -+ 3 +-+ 13 + U \ 4 \ 2 On multiplie tout par 1 2Q I 237 ___ l’inverse de V4800 - 6 9 , et on trouve : / „ _ , 282 y" +176 + — + J31558 + 39 ^ 1521 / 3 5 , 15 39 ,2 ^ 2 ^ 4 9 8 1521 Chapitre II 98 39 I3 1 5 Æ V 1521 , U Æ il 1521 . /31558 + -----39 V 1521 V 1521 V 2313441 V 1521 Cette équation quadratique a cependant une autre racine positive, mais plus petite que 10, et qui n’est donc pas solution de l’équation initiale x(23 + V2ÔÔÔ + Vs) = 100 + (6 + V2Ô)jc' __ 3 I 5 On multiplie tout par - - 1— qui est l’inverse de 6 + V20.

Abü Kàmil donne une démonstration arithmétique de ce lemme, avec la figure cicontre : i E C i Fig. 6 Chapitre II 108 Le calcul algébrique et ses applications 109 Deuxième lemme : Si a =x+y A = B+C a a - +- =b X y B ■=^ E D= E + D. =D alors on a aussi a a ----- = b. X y Troisième lemme AB CD En effet, on a A B C D Abu Kâmil en donne une démonstration arithmétique. a - , X Corollaire des trois lemmes (pour Jc, > 0) : = 1+ - 10 — y X , ^ - +- = b-2. X y Posons Z = — (la « chose » est z) ; alors 10 = x + v 10 = A+ >' 10 + — X V = , 6 ^ 1 + - 100 =f6 + -j |xy 4 Ensuite, Abu Kâmil observe que l’on peut réduire à cette forme tous les problèmes de la forme x +y =a a: b b —+ —= c -=b-2-z y X V ou de la forme x +y = a b b^ et z { b - 2 - z ) = 1.

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