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Real Methods in Complex and CR Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, June 30 - July 6, 2002

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Ad-hoc Networks: Fundamental Properties and Network Topologies

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4. Projection stéréographique Supposons n > 1 et considérons le point en = (0, . ,O, 1) de Sn-1, et l'hyperplan H d'équation xn = O, orthogonal au vecteur en. A tout point x = (x,) de Sn-,, distinct de en,faisons correspondre le point y où la droite passant par en et x rencontre l'hyperplan H (fig. 3). On vérifie aisément qu'on a y = 1 -(x - xnen)et 1 - xn Si on désigne par A le complémentaire de {en) par rapport à Sn-,, ces formules prouvent qu'on a défini ainsi un homéomorphisme de A sur l'hyperplan H.

12) montre que V' est homéomorphe à P, et fermée dans P,; en outre, si p c n, son complémentaire dans P, est dense (VI, p. 5, prop. 4). Donc: PROPOSITION 4. - Toute variété linéaire projective à p dimensions de l'espace projectif P, est un ensemble fermé dans P,, homéomorphe à P,; si p < n, son complémentaire est dense dans P,. Rappelons que les variétés linéaires projectives à n - 1 dimensions de P, (n 2 1) sont appelées hyperplans projectifs; tout hyperplan projectif est l'ensemble des points dont les coordonnées homogènes satisfont à une relation de la forme n 2 aixi = O, où les a, ne sont pas tous nuls (<<équation r de l'hyperplan).

C') est l'intersection d'un même Bt avec un côté de L (resp. L') tel que ni C ni C' ne + On peut montrer qu'un ensemble ouvert de Rmn'est pas homéomorphe à une partie de Rn pour n < m. EXERCICES soient réduits à un point. On désigne par Ria, la relation suivante entre éléments de 5%: <( a # P; si a = (Cl, Ci), P = (Ca, Ci), Cl n C2 et C; n Ca sont non vides, l'un d'eux est réduit à un point, et si ce point n'est pas un des x, (resp. xi), Cl et C2 (resp. Ci et Ch) sont contenus tous deux dans un même côté de L (resp.

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